CGP 4-2 — 좌표 공간과 투영, GLSL

출처: SSU 컴퓨터 그래픽스 보조 슬라이드 — 3D 그래픽스를 위한 수학 (Part 2) 선행: CGP 4-1 — 3D 수학 기초 (벡터·행렬·변환), 07 — 3D 기하변환·뷰잉

본 강의의 7주차 슬라이드(SSU_CG_07)가 행렬 유도에 초점을 맞췄다면, 이 보조 슬라이드는 OpenGL/WebGL 의 실제 구현 관점에서 좌표 공간을 다시 정리합니다. 셰이더에 한 줄짜리 gl_Position = P * V * M * pos 로 압축되는 그 파이프라인을 단계별로 풀어 봅니다.

1. 좌표 공간 (Coordinate Spaces) — 6단계 ⭐️

출처: 슬라이드 1~11

3D 그래픽스에서 한 정점이 화면 픽셀이 되기까지 거치는 좌표 공간 6개. 각 단계 사이의 변환 행렬 이 핵심입니다.

1.1 정리 흐름

Position (Local)
  → ×M  → World
  → ×V  → View
  → ×P  → Clip      ← 셰이더가 출력하는 gl_Position
  → ÷w  → NDC       ← GPU 가 자동 수행 (Perspective Divide)
  → 뷰포트 → Screen ← GPU 가 자동 수행

셰이더가 책임지는 구간은 Local → Clip 까지. 이후의 원근 분할과 뷰포트 매핑은 GPU 고정 단계.

2. 뷰 행렬 (View Matrix) — LookAt 방식 ⭐️

출처: 슬라이드 12~13

월드 공간을 카메라 기준으로 재정렬하는 행렬. 본질은 "카메라를 원점으로 + 카메라의 보는 방향을 -z 축으로" 정렬하는 합성 변환.

2.1 LookAt 의 세 파라미터

2.2 행렬 구성

뷰 행렬은 두 행렬의 합성:

1. 이동: 카메라(Eye)를 월드 원점으로 가져오기 →
2. 회전: 카메라의 UVN 축을 월드 XYZ 축에 정렬 →

UVN 기저 의 구체적 유도는 07 — 3D 변환·뷰잉 5절을 참고. 여기서는 결과만 사용.

2.3 회전 행렬 의 직교성

UVN 은 정규직교 기저 이므로 회전 행렬 의 역행렬은 전치 만으로 구할 수 있습니다 (). 이 성질이 GLSL 의 inverse() 호출을 피하게 해 주는 표준 최적화.

3. 투영 행렬 (Projection Matrix) ⭐️

출처: 슬라이드 14~17

3.1 원근 투영 (Perspective Projection)

거리에 따라 객체가 작아지는 사람 눈에 가까운 투영. WebGL/OpenGL 의 perspective(fovy, aspect, near, far) 한 줄로 생성됩니다.

뷰 볼륨 모양은 프러스텀(잘린 사각뿔).

3.2 평행 투영 (Orthographic Projection)

거리와 무관하게 객체 크기가 유지되는 투영. CAD/설계 도면용. 파라미터:

뷰 볼륨 모양은 직육면체(Box).

3.3 두 투영 비교

원근 투영 행렬의 마지막 행이 [0, 0, -1, 0] 인 핵심 이유: 곱셈 결과의 w 에 -z 가 들어가 원근 분할(Perspective Divide) 의 분모를 자동으로 준비함. 이 한 칸이 "멀면 작다"의 수학적 본체.

4. OpenGL · GLSL 에서의 변환

출처: 슬라이드 18~21

4.1 Vertex Shader 의 역할

정점 데이터를 입력받아 클립 공간 좌표(gl_Position) 를 출력하는 것이 vertex shader 의 1차 책임. 색상·노멀 등 추가 출력은 별도 varying 으로 전달.

4.2 표준 변환 한 줄

#version 300 es
 
uniform mat4 uProjection;   // P
uniform mat4 uView;         // V
uniform mat4 uModel;        // M
 
in vec3 aPosition;          // local space
 
void main() {
  gl_Position = uProjection * uView * uModel * vec4(aPosition, 1.0);
}

행렬 곱이 오른쪽에서 왼쪽 으로 적용됨을 기억:

position(local)
  → uModel       → world
  → uView        → view
  → uProjection  → clip   ← gl_Position

4.3 GLSL 내장 변수

4.4 MVP 합성 — CPU에서 미리

수백만 정점이 같은 변환을 거치므로, P * V * M 을 CPU 에서 한 번만 곱해 uMVP 로 넘기는 것이 표준 최적화입니다.

uniform mat4 uMVP;
void main() {
  gl_Position = uMVP * vec4(aPosition, 1.0);
}

📝 Checkpoint: 좌표 공간·투영 퀴즈

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