10 — 래스터화 (Rasterization)

출처: SSU 컴퓨터 그래픽스 슬라이드 — SSU_Intro2CG_10_Rendering_rasterization.pdf 주차: 9주차 — 기말 시험범위 시작 선행: 07 — 3D 기하변환·뷰잉, 09 — 은면의 제거

3차원 삼각형을 화면의 픽셀로 바꾸는 과정. "이 픽셀이 삼각형 안에 있나?" 와 "그 픽셀의 색/깊이는 얼마인가?" 두 질문을 edge function 과 무게중심좌표(barycentric coordinates) 로 푸는 것이 이 장의 핵심입니다.

1. 렌더링의 두 갈래

출처: 슬라이드 — Two Popular Methods

3D 장면을 2D 이미지로 만드는 대표적인 두 방법:

이 장은 래스터화. 즉 "삼각형을 하나씩 꺼내서, 그 삼각형이 덮는 픽셀들을 칠한다" 는 객체 중심 루프입니다.

1.1 폴리곤 메시 (Polygon Mesh)

렌더링의 입력 형상은 정점(vertex)·에지(edge)·면(face) 으로 표면을 정의한 폴리곤 메시입니다.

• Face-vertex mesh: 면이 자신을 이루는 정점 인덱스를 참조하는 가장 흔한 표현.
• Blender 등에서 모델링 후 .obj 같은 포맷으로 내보냄.

2. 래스터화의 큰 그림

출처: 슬라이드 — Rasterization Overview / Naïve Algorithm

두 단계로 요약됩니다:

1. 투영(Projection): 삼각형의 정점들을 원근투영으로 화면에 투영.
2. 포함 판정(Coverage): 각 픽셀이 투영된 2D 삼각형 안에 들어가는지 판정 → 들어가면 색을 칠함.

2.1 Naïve 알고리즘

for (each triangle in scene) {
  // STEP 1: 정점을 원근투영
  Vec2f v0 = perspectiveProject(triangle[i].v0);
  Vec2f v1 = perspectiveProject(triangle[i].v1);
  Vec2f v2 = perspectiveProject(triangle[i].v2);
  for (each pixel in image) {          // ← 모든 픽셀을 도는 게 낭비
    if (pixelContainedIn2DTriangle(v0, v1, v2, x, y)) {
      image(x, y) = triangle[i].color;
    }
  }
}

2.2 최적화: 바운딩 박스 (Bounding Box) ⭐️

삼각형마다 이미지 전체 픽셀을 도는 것은 낭비. 투영된 삼각형의 바운딩 박스 안 픽셀만 순회합니다.

세 정점의 최소/최대 좌표로 박스를 잡고, ymin..ymax × xmin..xmax 만 검사 → 큰 화면에서 대부분의 빈 픽셀 검사를 건너뜁니다.

정점을 드래그해 바운딩박스가 어떻게 잡히고, 박스 안에서 edge function 으로 어떤 픽셀이 내부 판정되는지(그리고 검사했지만 바깥인 픽셀과, 아예 검사조차 안 하는 픽셀의 차이) 직접 보세요.

2.3 한 픽셀에 두 삼각형이 겹칠 때 — Z-Buffering ⭐️

같은 픽셀을 여러 삼각형이 덮으면 카메라에 더 가까운 것이 이겨야 합니다. 픽셀마다 깊이값(거리) 을 저장하는 z-buffer(depth-buffer) 를 둡니다.

float buffer[W*H];
for (i in pixels) buffer[i] = INFINITY;   // 무한대로 초기화
 
for (each triangle) {
  // 투영 + 바운딩박스 계산 ...
  for (y...) for (x...) {
    float z;
    if (pixelContainedIn2DTriangle(v0,v1,v2, x,y, z)) {
      if (z < zbuffer(x,y)) {     // 더 가까우면 갱신
        zbuffer(x,y) = z;
        image(x,y)   = triangle.color;
      }
    }
  }
}

은면 제거의 이미지공간법 (09장)이 래스터화 루프 안에 자연스럽게 들어가는 지점.

2.4 한 장의 그림에 필요한 것들

• 이미지 버퍼 (색의 2D 배열)
• 깊이 버퍼 (float 의 2D 배열)
• 삼각형들 (장면 형상)
• 정점을 캔버스로 투영하는 함수, 투영된 삼각형을 래스터화하는 함수
• 이미지 버퍼를 디스크로 저장하는 코드

3. 투영 단계 (The Projection Stage)

출처: 슬라이드 — Projecting Vertices / Screen → NDC → Raster

3.1 화면 공간으로의 원근분할 (Perspective divide)

카메라 공간 3D 점을 z 좌표로 나눠 2D 화면 좌표를 얻습니다.

3.2 z 좌표를 버리지 마라 ⭐️

화면 좌표만 남기면 가시성(visibility) 문제를 풀 수 없습니다. 투영 후에도 정점의 카메라 공간 z 를 별도로 보관해야 합니다 (보통 양수 -z_camera 로 저장해 이후 계산을 단순화).

"Screen-space is also three-dimensional" — 화면 공간도 사실 3차원이며, x·y 만 원근 왜곡된 채로 깊이 z 가 함께 살아 있습니다 (Ed Catmull, 1974).

3.3 좌표계 사슬: Screen → NDC → Raster

GPU 관례로 화면 좌표를 정규화 장치좌표(NDC, 각 축 [-1, 1])로 재매핑한 뒤, 픽셀 격자(raster space)로 옮깁니다.

raster space 는 y 축이 아래로 향하므로 (1 - y_NDC) 로 뒤집습니다.

4. 래스터화 단계 — Edge Function ⭐️

출처: 슬라이드 — The Edge Function (Juan Pineda, 1988)

"이 픽셀이 삼각형 안에 있나?" 를 푸는 고전적이고 지금도 쓰이는 방법.

4.1 정의

에지(V0→V1)에 대해 점 P 의 위치를 부호로 판정:

→ P 가 에지의 오른쪽 → P 가 직선 위 → P 가 왼쪽

세 에지에 대해 부호가 모두 같으면 점은 삼각형 안에 있습니다.

4.2 기하학적 의미 — 외적 (Cross Product)

edge function 은 두 벡터의 외적과 닮았습니다. 그 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이이고, 따라서 삼각형 넓이의 2배가 됩니다.

수식만 보면 와닿지 않습니다. 아래에서 변 A→B 와 점 P 를 드래그해 보세요. edge function이 곧 두 벡터가 만드는 평행사변형 넓이(= 밑변 × 높이) 이고, 부호가 직선의 어느 쪽인지 알려준다는 걸 눈으로 확인할 수 있습니다.

bool edgeFunction(const Vec2f &a, const Vec2f &b, const Vec2f &c) {
  return ((c.x-a.x)*(b.y-a.y) - (c.y-a.y)*(b.x-a.x) >= 0);
}
bool inside = true;
inside &= edgeFunction(V0, V1, p);
inside &= edgeFunction(V1, V2, p);
inside &= edgeFunction(V2, V0, p);   // 세 부호가 모두 같으면 내부

4.3 와인딩 순서 (Winding Order) 가 중요

정점을 시계/반시계 어느 방향으로 도느냐에 따라 edge function 의 부호 기준이 통째로 뒤집힙니다. 일관된 와인딩 순서를 전제로 "모두 양수면 내부" 같은 규칙을 세워야 합니다.

5. 무게중심좌표 (Barycentric Coordinates) ⭐️⭐️

출처: 슬라이드 — Barycentric Coordinates / Vertex Attribute Interpolation

"픽셀의 색·노멀·UV 는 얼마인가?" 를 푸는 정점 속성 보간의 도구. 정점 사이를 선형 보간하는 가중치입니다.

5.1 정의

삼각형 위 임의의 점 P 를 세 정점의 가중합으로 표현:

세 가중치의 합은 항상 1. 같은 가중치로 색·노멀·UV 도 보간합니다.

5.2 어떻게 구하나 — 부분삼각형 넓이의 비

λ 는 P 가 만드는 부분삼각형 넓이 ÷ 전체 삼각형 넓이. edge function 이 곧 (넓이 × 2)이므로 그대로 재사용됩니다.

float area = edgeFunction(v0, v1, v2);   // 전체 넓이 × 2
float w0   = edgeFunction(v1, v2, p);    // V0 맞은편 부분삼각형
float w1   = edgeFunction(v2, v0, p);    // V1 맞은편
float w2   = edgeFunction(v0, v1, p);    // V2 맞은편
if (w0>=0 && w1>=0 && w2>=0) {           // 내부 판정과 보간을 동시에!
  w0 /= area; w1 /= area; w2 /= area;    // λ0, λ1, λ2
  // color = w0*C0 + w1*C1 + w2*C2 ...
}

핵심: edge function 하나로 내부 판정 과 무게중심좌표 를 동시에 얻습니다. 아래에서 직접 확인하세요 — P 를 옮기면 세 부호와 λ, 그리고 보간된 색이 실시간으로 바뀝니다.

그런데 λ 가 "왜" 그 값인지 기하학적으로 보려면, 부분삼각형 넓이의 비로 이해하는 게 가장 직관적입니다. 아래에서 각 부분삼각형의 실제 넓이 숫자와 λ 비율 막대, 그리고 로 재구성한 점(점선 고리)이 항상 P에 겹치는 것을 확인하세요.

5.3 선형 보간의 기초

두 점 사이의 값은 거리에 반비례하는 가중평균. 예를 들어 C0 와 C1 을 7등분한 위치에서 C0 쪽으로 4칸 떨어졌다면:

무게중심좌표는 이것을 삼각형(2D)으로 확장한 것입니다.

6. 깊이 보간과 원근 보정 ⭐️

출처: 슬라이드 — Depth Interpolation / Perspective Correct Interpolation

6.1 z 를 그냥 보간하면 틀린다

P 의 깊이를 무게중심좌표로 z 를 직접 보간하면 틀립니다. 원근투영은 직선은 보존하지만 거리(비율)는 보존하지 않기 때문입니다.

6.2 해법: z 의 역수를 보간

정점 z 의 역수를 무게중심좌표로 선형 보간합니다:

6.3 원근 보정 보간 (Perspective-Correct Interpolation)

색·노멀·UV 같은 정점 속성도 같은 이유로 그냥 보간하면 왜곡됩니다 (무게중심좌표는 2D 화면에서 계산했으므로). 올바른 절차:

1. 각 정점 속성을 그 정점의 z 로 나눈다.
2. 무게중심좌표로 선형 보간한다.
3. 결과에 픽셀의 깊이 Z 를 곱한다.

아래에서 깊이비(zFar/zNear) 슬라이더를 키워 보세요. 왼쪽(화면 공간 선형 보간)은 체커가 일그러지고, 오른쪽(원근 보정)은 멀어질수록 칸이 올바르게 작아집니다.

텍스처가 비스듬한 면에서 찌그러지지 않게 하는 바로 그 보정. 텍스처 매핑(13장)에서 다시 만납니다.

📝 Knowledge Check: 래스터화

🔗 다음 학습

• 이전 (중간 범위): 09 — 은면의 제거 — z-buffer/이미지공간법의 출발점.
• 다음: 11 — 파라메트릭 곡선 — 직선 보간을 곡선으로 확장.
• 시험 대비: 기말 대비 — Numerical Hard Mode